analisa real

2.6 Himpunan Terbuka dan Tertutup Pada Bilangan Riil

2.6.1 Definisi. (i)Himpunan dikatakan terbuka dalam  R  jika untuk setiap   tedapat persekitaran V(x), sedemikian sehingga .

(ii) Himpunan   dikatakan tertutup dalam R jika komplemen

 ϐ(F) = R/F adalah himpunan terbuka.

Untuk menunjukkan bahwa himpunan adalah himpunan terbuka, cukup menunjukkan bahwa setiap batas di G memiliki persekitaran ε yang terkandung dalam G. Faktanya, G adalah himpunan terbuka jika dan hanya jika untuk setiap x ϵ G, terdapat sedemikian sehingga  terkandung dalam G.

Untuk menunjukkan bahwa  himpunan   adalah tertutup, cukup menunjukkan bawa setiap batas memiliki persekitaran terpisah dari F. Faktanya, F adalah himpunan tertutup jika dan hanya jika untuk setiap  terdapat  sedemikian sehingga = .

2.6.2 Contoh – contoh

(a) Seluruh himpunan  adalah himpunan terbuka.

Untuk setiap , kita dapat menggunakan ε := 1.

(b)himpunan G := {x ϵ R : 0 < x < 1} adalah himpunan terbuka.

Untuk setiap  kita dapat menggunakan ε,  untuk bilangan x yang lebih kecil, 1 – x .

(c) Interval terbuka I := (a,b) adalah himpunan terbuka.

(d) Himpunan I :=  [0,1] tidak terbuka.

(e) Himpunan  I adalah  tertutup.

Untuk melihat ini , misalkan , maka salah satu dari  y <  0 atau y > 1. jika y < 0  ,diperoleh , dan jika y > 1 diperoleh .

(f) Himpunan  H := {x : 0 ≤  x < 1} tak ada yang terbuka ataupun  tertutup.

(g) Himpunan kosong  adalah bilangan R terbuka.

2.6.3 Sifat Himpunan Terbuka

(a)  Gabungan subset terbuka yang berubah-ubah dari bilangan R adalah himpunan terbuka.

(b) Gabungan himpunan terbuka yang terbatas dalam Radalah terbuka.

Bukti :

(a)           Misalkan  adalah himpunan R terbuka, dan  misalkan G  gabungannya.Mengingat  elemen x ϵ G. Dari definisi gabungan, x harus termasuk dalam  untuk . Karena terdapat persekitaran V(x) sedemikian sehingga . Karena x adalah elemen G yang berubah-ubah , kita simpulkan bahwa G adalah himpunan terbuka dalam R.

(b)          Misalkan G₁ dan G₂ adalah himpunan terbuka dan diberikan G := . Untuk menunjukkan bahwa G adalah  terbuka, kita anggap bahwa  : maka dan . Karena G₁ adalah terbuka, terdapat ε1 > 0 sedemikian sehingga ( ) termasuk dalam G_1.Dengan cara yang sama, karena G₂ adalah terbuka , terdapat  ε₂ > 0 sedemikian sehingga  yang termasuk dalam G_{2 .} Jika kita ambil bahwa ε adalah nilai terkecil dari ε₁ dan ε₂, maka persekitaran ε U :=    memenuhi antara dan . Sehingga . Karena x adalah elemen G yang berubah-ubah kita simpulkan bahwa G adalah himpunan terbuka.

2.6.4 Corollary

(a) Titik potong himpunan tertutup yang berubah-ubah  dalam R adalah tertutup.

(b) Gabungan himpunan tertutup yang terbatas dalam R adalah tertutup.

Bukti :

(a)           Jika  adalah himpunan tertutup dalam R dan , maka ϐ(F) =  c  adalah gabungan dari himpunan terbuka. Karena itu , ϐ(F) adalah himpunan terbuka menurut teorema 2.6.3(a), dan akibatnya F adalah himpunan tertutup.

(b)          Misalkan F₁,F₂, . . . , F_n adalah himpunan tertutup dalam R dan diberikan . Dari identitas komplemen F De Morgan  diperoleh :

            ϐ(F) = ϐ(F₁)  ϐ(F_n)

karena setiap ϐ(F) adalah terbuka, menurut dari teorema 2.6.3 bahwa ϐ(F) adalah terbuka, karena itu F adalah himpunan tertutup.

2.6.5        contoh-contoh

(a)           Diberikan  untuk . Maka G_n adalah himpunan terbuka untuk setiap , dari contoh 2.6.2(c). Bagaimanapun, ttik potong adalah interval (0,1] yang tidak terbuka. Sehingga ada titik potong himpunan terbuka yang tidak terbatas dalam Rdan  tidak harus terbuka.

(b)          Diberikan . Setiap F_n adalah himpunan tertutup, tapi gabungan   adalah himpunan (0,1] yang tidak tertutup. Sehingga, ada gabungan himpunan tertutup yang tidak terbatas dalam R dan tidak harus tertutup.

CIRI-CIRI HIMPUNAN TERBUKA

2.6.6 Teorema

Subset R dikatakan  himpunan terbuka jika dan hanya jika terdapat  gabungan interval terbuka yang dapat dihitung dalam R.

Bukti : Misalkan bahwa G ≠  adalah himpunan terbuka dalam R. Untuk setiap , diberikan  dan diberikan . Karena G adalah himpunan terbuka, itu berati bahwa A_x dan B_x bukan hmpunan kosong.  Jika himpunan A_x terbatas dibawah, maka  : jika A_x tidak terbatas dibawah, maka diperoleh . Perhatikan bahwa dilain hal . Jika himpunan B_x terbatas diatas, diperoleh b_x := sup B_x ; jika Bx tidak terbatas diatas, maka diperoleh b_x := ∞. Perhatikan bahwa dilain hal .

CIRI-CIRI HIMPUNAN TERTUTUP

2.6.7 Teorema

Subset R dikatakan  himpunan tertutup jika dan hanya jika didalamnya terdapat cluster points.

Bukti :

Misalkan F adalah himpunan tertutup dalam R dan misalkan x adalah cluster points dari F ; kita tunjukkan bahwa . Jika tidak, maka dia termasuk himpunan terbuka (F). Oleh karena itu terdapat persekitaran V(x) sedemikian sehingga ϐ(F).  Akibatnya , yang kontradiksi dengan asumsi bahwa  x adalah  cluster points  dari F.

Sebaliknya, misalkan maka semuanya adalah cluster points , kita harus menunjukkan bahwa ϐ(F) adalah himpunan terbuka. Jika  ϐ(F).  , maka y bukanlah cluster point dari F. Menurut definisi 2.5.2 bahwa terdapat persekitaran ε V_ε dari y yang tipi, karena dak mengandung cluster point  dari F  kecuali y.  Tapi karena  ϐ(F) itu berrti bahwa ϐ(F). 

Tapi karena y adalah elemen ϐ(F) yang tidak tetap atau berubah-ubah,  maka kita dapat menarik kesimpulan bahwa untu setiap yang ada di y terdapat persekitaran yang terkandung dalam ϐ(F).  Tapi ini berarti bahwa ϐ(F) adalah himpunan terbuka dalam R.  Oleh karena itu F adalah himpunan tertutup dalam R.