sifat barisan divergen

3.6  SIFAT  BARISAN   DIVERGEN

Untuk  fungsi  tertentu alangkah baiknya  defenisi harus  dipahami untuk sebuah barisan  bilangan real mendekati

3.6.1  DEFENISI

Misalkan  adalah bilangan barisan bilangan real.

(i)            Kita katakan bahwa  mendekati , dan ditulis , untuk setiap  ada. Ada bilangan asli  sedemikian sehingga jika ,maka .

(ii)          Kita katakan bahwa  mendekati , dan ditulis , untuk setiap  terdapat bilangan asli  sedemikian sehingga  jika ,maka

Kita katakan bahwa  adalah divergen poper (tepat/tegas) jika  atau lim .

Pembaca  dapat merealisasikan  bahwa  kita  menggunakan simbol  seperti notasi  fungsi penjelasan  diatas . Akhirnya  pembuktian lebih mudah untuk limit   bisa tidak benar ketika

3.6.2  contoh

(a)    

          Faktanya jika  diberikan ,andaikan  beberapa bilangan Sali  sedemikian   sehingga

(b)  

          Jika  adalah bilangan asli  sedemikian sehingga  bahwa  dan jika  maka kita memiliki 

(c)   Jika  c >1 , maka

Misalkan  dimana b > 0, jika  diberikan, misalkan  adalah bilangan asli ,sedemikian sehingga .Jika  dari ketaksamaan bernouli bahwa,

 oleh karena itu

Barisan monoton fraktisnya simple dianggap konvergen , kita lihat teorema monoton konvergen 3.3.2, bahwa barisan monoton adalah konvergen dan hanya terbatas , ,kemudian  hasilnya  adalah refermulasi akhir .

TEOREMA 3.6.3

Barisan bilangan real monoton  merupakan barisan  divergen  proper jika dan  hanya jika barisannya  tidak terbatas

(a)    Jika   barisan tidak terbatas , maka  

(b)   Jika  barisan turun tidak terbatas, maka

Bukti:

   (a). misalkan  barisan naik , kita tahu bahwa  jika  adalah terbatas , maka  konvergen , jika   tidak terbatas , maka  untuk  terdapat   sedemikian sehingga  untuk semua , oleh sebab itu

Bagian (b) pembuktiannya sama dengan (a)

Ikutilah  teorema  perbandingan  frekuensinya  digunakan  untuk menunjukkan  sebuah  barisan divergen  proper ( difakta,  kita menggunakan contoh 3.6.2 ©)

TEOREMA 3.6.4

Misalkan   dan  dua barisan  bilangan real dan ditunjukkan

 untuk semua

(a)    Jika ,maka

(b)   Jika  , maka .

Bukti :

 Jika , dan jika terdapat  bilangan asli  sedemikian sehingga jika  maka , ditunjukkan bahwa  untuk semua , oleh karena itu

Bukti (b) adalah sama seperti (a).

TEOREMA  3.6.5

DIberikan   dan  dua barisan  bilangan real , dan andaikan untuk beberapa , L , kita peroleh ;

           

Maka  jika dan hanya jika .

Bukti:

 Diketahui , terdapat  sedeamkian sehingga

 untuk semua 

Karena kita peroleh   untuk semua , kesimpulannya  sekarang dari modifikasi  kecil dari teorema 3.6.4. kita meninggalkan penjelasan pembaca

Pembaca bisa  tunjukkan  kesimpulan tidak membutuhkan , salah satu  dari L=0  atau bagaimanapun , ada beberapa  sebagian hasilnya maka bisa membuat hal , seperti melihat di latihan .