3.3 BARISAN
MONOTON
Pada
bagian ini akan dibahas suatu metode untuk menentukan konvergensi suatu barisan
yang tidak diketahui “calon” nilai limit dari barisan tersebut. Metode ini
digunakan hanya pada barisan monoton.
3.3.1 Definisi
Misalkan
X=(xn) suatu barisan bilangan real.
(a)
X dikatakan naik kuat jika
memenuhi pertidaksamaan berikut:
x1
< x2 < x3 <...< xk < xn+1
<.....
(b)
X dikatakan naik jika memenuhi
pertidaksamaan berikut:
(c)
X dikatakan turun kuat jika
memenuhi pertidaksamaan berikut:
x1
> x2 > x3 >...> xk >...>
xn > xn+1 >...
(d)
X dikatakan turun jika memenuhi
pertidaksamaan.
x 1 ≥ x2 ≥
x3 ≥...≥ xk ≥...≥ xn ≥ xn+1 ≥...
(e)
X dikatakan monoton jika X naik
atau turun.
Contoh 3.10
(i)
Contoh barisan naik kuat:
(1,2,3,4,...,n,...,); (a,a2,a3,a4,...,an,...)
jika a>1
(ii)
Contoh barisan naik:
(1,2,2,3,3,3,3,...); (1,1,1,1,....,)
(iii)
Contoh barisan turun kuat:
(iv)
Contoh barisan turun:
(2,2,2,2,...,); (0,0,-1,-1,-2,-2,...)
(v)
Contoh barisan tidak monoton
(1,-1,1,-1,...,(-1)n+1,...);(-1,2,-3,4,...,(-1)n,...)
(vi)
Contoh monoton tiba-tiba “ultimatly” monoton
(7,6,1,2,3,4,5,....); (100,200,-20,50,-2,1,
).
3.3.2 Teorema Konvergensi Monoton
Misalkan X = (xn) barisan monoton, X konvergen
jika dan hanya jika X terbatas. Lebih lanjut,
(a)
Jika X = (xn) barisan
naik terbatas maka lim(xn) = sup {xn}.
(b)
Jika X=(xn) barisan
turun terbatas maka lim(xn) = inf{xn}.
Teorema 3.3.2 ini dapat ditulis sebagai berikut:
Misalkan X = (xn), n ϵ N, X monoton.
X konvergen
X terbatas.
(a)
X= (xn) naik terbatas
lim(xn)
= sup{xn}.
(b)
X= (xn) turun terbatas
lim(xn)
= inf{xn}.
Bukti
:
X barisan monoton dan konvergen. Jika X konvergen, Berdasarkan Teorema
3.3.2 maka X terbatas.
Bukti
:
Jika X monoton terbatas berarti X naik terbatas atau X turun terbatas.
(a)
Pada kasus X = (xn)
naik terbatas.
X monoton naik
(xn) naik terbatas
Oleh sebab itu
terbatas diatas.
Karena
dan juga terbatas diatas sehingga
mempunyai
supremum.
Misalkan x* = sup {(xn) : nϵN}.
Akan ditunjukkan x* = limX.
Diberikan sembarang ε > 0, berdasarkan Teorema 1.4.3,
X* = sup {(xn) : n ϵ N}
untuk suatu K ϵ N
϶ (x-ε) < xk.
Karena X barisan naik diperoleh,
(b)
Pada kasus X = (xn)
turun terbatas.
Misal Y= -X = (-xn), sehingga Y naik terbatas.
Berdasarkan (a) diperoleh,
Lim Y = sup {-xn : n ϵ N} = -inf { xn : n ϵ N}.
Diperoleh, limX = -lim (-X) (Teorema
3.2.3)
= -limY
= inf {xn : n ϵ N}.
Dengan demikian X konvergen ke inf {xn : n ϵ N}
atau
Lim (xn) = {xn : n ϵ N}.
Selanjutnya akan dibuktikan sup {-xn : n ϵ N}
= -inf {xn : n ϵ N}.
Misalkan u = inf {xn : n ϵ N}.
-u batas atas dari {-xn : n ϵ N}.
Misalkan w sembarang batas atas dari {-xn : n ϵ N}.
w sembarang batas atas
dari
-w batas bawah dari {-xn :nϵN}.
-w batas bawah dari {xn:nϵN}
Karena –u batas atas dari {-xn:nϵN} dan w
sembarang batas atas {-xn : n ϵ N}
Menyebabkan w ≥
-u, dengan demikian –u = sup {-xn : n ϵ N}.
Jadi, sup {-xn : n ϵ N} = -inf {xn : n ϵ N}.
Kesimpulan limX = -limY = -sup {-xn : n ϵ N}
= inf {xn : n ϵ
N}.
Teorema
konvergensi kemonotonan menjamin eksistensi limit dari barisan monoton
terbatas. Teorema ini juga merupakan salah satu cara untuk menentukan limit
dari barisan asalkan kita Dapat menduga supremum dalam kasus (a) atau infimum
dalam kasus (b).
Contoh 3.10
a)
Bukti:
Akan ditunjukkan dengan menggunakan teorema konvergensi monoton. Karena
suku-suku dari
terbatas di
bawah dengan 0.
Sehingga
mempunyai
infimum.
Klaim: inf
Karena inf
berdasarkan
Teorema 3.2.3, maka lim
.
Bukti klaim: Berdasarkan lemma 1.4.3
Ambil ε>0, ada
sedemikian sehingga
Jadi, inf
b)
Misalkan
Akan ditunjukkan bahwa (xn)
tidak konvergen.
Bukti:
Sehingga (xn) barisan naik.
Untuk menunjukkan barisan (xn)
tidak konvergen cukup dengan menunjukkan barisan (xn) tidak
terbatas. Kita perhatikan suku ke-2n.
Kita perhatikan
Sehingga
Jadi
tidak terbatas.
Oleh karen itu
sehingga (xn)
tidak terbatas.
Oleh karena itu (xn)
tidak konvergen
c)
Misalkan Y= (yn),
dengan y1:=1, yn+1:=
untuk n≥1.
Akan
ditunjukkan bahwa limit
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa Y
konvergen.
(i)
Akan dibuktikan:yn terbatas
Y1:=1, y2:=
ini berarti y1 < y2 < 2.
Dengan menggunakan
induksi matematika, akan ditunjukkan yn<2,
Misalkan S1={n
ϵ N, yn < 2}.
a)
Y1=1, jadi 1ϵS1
b)
Asumsikan k ϵ S1,
yaitu yk < 2, akan ditunjukkan k+1 ϵ S1.
Jadi k+1 ϵ
S1.
Dari a) dan b) dikumpulkan yn < 2,
(ii)
Akan ditunjukkan Y monoton naik.
Misalkan S2;={n ϵ N
| yn < yn+1}.
a)
n=1,
jadi 1 ϵ S2.
b)
Asumsikan benar kϵS2
berarti yk < yk+1 akan ditunjukkan k+1 ϵ S2.
Apabila yk+1 < yk+2.
Bukti:
Dari
a) dan b) dapat disimpulkan
Karena Y terbatas dan monoton maka
Y konvergen. Pada kasus ini tidak mudah untuk menentukan lim (yn)
dengan mencari sup{yn : n ϵ N}. Cara lain yang digunakan untuk
menentukan lim (yn) adalah dengan menggunakan teorema 3.1.7, dan
lanjutkan penerapan teorema 3.3.2, diperoleh y = lim Y1= limY.
Misalkan lim (yn) = y.
Karena lim(yn)=lim(yn+1),
maka
Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapusKomentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapus