barisan bilangan real

Barisan Bilangan Real

3.1.    Barisan dan Limit Barisan

Disini diharapkan pembaca mengingat kembali bahwa yang dimaksud dengansuatu barisan pada suatu himpunan S adalah suatu fungsi pada himpunan N= {1, 2, 3,...} dengan daerah hasilnya di S. Selanjutnya dalam bab ini kita hanya memperhatikanbarisan di R.

3.1.1. Definisi

Suatu barisan bilangan real (atau suatu barisan di R) adalah suatufungsi pada himpunan Ndengan daerah hasil yang termuat di R.Dengan kata lain, suatu barisan di Rmemasangkan masing-masing bilanganasli n = 1, 2, 3, ... secara tunggal dengan bilangan real. Bilangan real yang diperolehtersebut disebut elemen, atau nilai, atau sukudari barisan tersebut. Hal yang biasauntukmenuliskan elemen dari R yang berpasangan dengan nÎN, dengan suatu symbolseperti xn (atau an, atau zn). Jadi bila X : N  R suatu barisan, kita akan biasamenuliskan nilai X di n dengan Xn, dari pada X(_n), kita akan menuliskan barisan inidengan notasi

X, Xn, (Xn : n Î N),

Kita menggunakan kurung untuk menyatakan bahwa urutan yang diwarisi dari Nadalah hal yang penting. Jadi, kita membedakan penulisan X = (Xn : n N), yangsuku-sukunya mempunyai urutan dan himpunan nilai-nilai dari barisan tersebut{Xn :n N} yang urutannya tidak diperhatikan. Sebagai contoh, barisan X = ((-1)n: n N)yang berganti-ganti -1 dan 1, sedangkan himpunan nilai barisan tersebut { (-1)n: n N }sama dengan {-1, 1}.

Dalam mendefinisikan barisan sering lebih mudah dengan menulis secaraberurutan suku-sukunya, dan berhenti setelah aturan formasinya kelihatan. Jadikita boleh menulis

X= (2, 4, 6, 8, ...)untuk barisan bilangan genap positif,

atau

Y=

untuk barisan kebalikan dari bilangan asli,

atau

Z=

untuk barisan kebalikan dari kuadrat bilangan asli. Metode yang lebih memuaskan

adalah degan menuliskan formula untuk suku umum dari barisan tersebut, seperti

X = (2n : nϵN) Y =                     Z=

Dalam prakteknya, sering lebih mudah dengan menentukan nilai  dan suatuformula untuk mendapatkan (n 1) bila diketahui dan formula dari , , ... . Metode ini kita katakan sebagai pendefinisian barisan secara induktifatau rekursif.Dengan cara ini, barisan bilangan bulat positif X di atas dapat kita definisikandengan

 = 2  = (n 1);

atau dengan definisi

 = 2 =  +  (n 1).

Catatan :Barisan yang diberikan dengan proses induktif sering muncul di ilmu komputer, Khususnya,barisan yang didefinisikan dengan suatu proses induktif dalam bentuk = diberikan, = f( )untuk n N dapat dipertanggungjawabkan untuk dipelajari dengan menggunakan komputer. Barisanyang didefinisikan dengan proses :  = diberikan,  , = ( , , ... , ) untuk n N juga dapat dikerjakan(secara sama). Tetapi, perhitungan dari suku-suku barisan demikian menjadi susah untuk n yangbesar, karena kita harus menyimpan masing-masing nilai , ..., dalam urutan untuk menghitung .

3.1.2.          Contoh

(a). Bila b Î R, barisan B = (b, b, b, ...), yang sukunya tetap b, disebut barisan konstanb. Jadi barisan konstan 1 adalah (1, 1, 1, ...) semua yang sukunya 1, dan barisankonstan 0 adalah baisan (0, 0, 0, ...).

(b). Barisan kuadrat bilangan asli adalah barisan S =  = yangtentu saja sama dengan barisan (1, 4, 9, ..., n², ...).

(c). Bila aÎR, maka barisan A = (aⁿ: nÎN) adalah barisan (a¹,a²,a³,...,aⁿ,...).

Khususnya bila a = . maka kita peroleh barisan.

=

(d). Barisan Fibonacci F = (f_n : n Î N) diberikan secara induktif sebagai berikut:

F₁:=1,                                f₂:=1,           f_n+1:=f_n-1+f_n

Maka sepuluh suku pertama barisan Fibonacci dapat dilihat sebagai F = (1, 1, 2, 3,

5, 8, 13, 21, 34, 55, ...)

Sekarang akan kita kenalkan cara-cara penting dalam mengkonstruksi barisan

baru dari barisan-barisan yang diberikan.

3.1.3. Definisi

            Bila X = (x_n) dan Y = (y_n) barisan bilangan real, kita definisikan jumlahX + Y = (x_n + y_n: nÎN),selisih X - Y = (x_n– y_n : nÎN), dan hasil kali X.Y=(x_ny_n: nÎN). Bila c Î R, kita definisikan hasil kali X dengan c yaitu cX=(cx_n : nÎN).

Akhirnya, bila Z = (z_n) suatu barisan dengan z_n¹ 0 untuk semua nÎN, maka hasil

bagi X oleh Z adalah X/Z = (x_n/ z_n : nÎN).

Sebagai contoh, bila X dan Y berturut-turut adalah barisan-barisan

X := ,  Y :=

X+Y =

X-Y=

X.Y=(2,2,2,…..2,….)

     3X =(6,12,18,….6n)

     X/Y=(2,8,18,….2n²)

Kita catat bahwa bila z menyatakan barisan

Z = (0, 2, 0, ..., 1 + (-1)ⁿ, ...),

maka kita dapat mendefinisikan X + Z, X-Z, dan X.Z; tetapi tidak dengan X/Z, karenaZ mempunyai suku 0.

Terdapat beberapa konsep limit dalam analisa real. Pemikiran limit barisan

merupakan yang paling mendasar dan merupakan fokus kita dalam bab ini.

3.1.4.          Definisi

Misalkan X = (xn) barisan bilangan real. Suatu bilangan real x dikatakanlimit dari (xn), bila untuk setiap e > 0 terdapat bilangan asli K(e), sedemikiansehinggauntuk semua n ³ K(e), suku-suku xn terletak dalam lingkungan-e, Ve(x).Bila x merupakan suatu limit dari barisan tersebut, kita katakan juga bahwa X=(xn) konvergenke x (atau mempunyai limit x). Bila suatu barisan mempunyai limit,kita katakan barisan tersebut konvergen, bila tidak kita katakan divergen.Penulisan K(e) digunakan untuk menunjukkan secara eksplisit bahwa pemilihanK bergantung pada e; namun demikian sering lebih mudah menuliskannya denganK,dari pada K(e). Dalam banyak hal nilai e yang “kecil” biasanya akan memerlukannilai K yang “besar” untuk menjamin bahwa xn terletak di dalam lingkungan Ve(x)untuk semua n ³ K = K(e).

Kita juga dapat mendefinisikan kekonvergenan X = (xn)ke x dengan mengatakan: untuk setiap lingkungan-e Ve(x) dari x, semua (kecuali sejumlah hingga) sukusukudari x terletak di dalam Ve(x). Sejumlah hingga suku-suku tersebut mungkin tidakterletak di dalam Ve(x) yaitu x1, x2, ..., xK(e)-1.

Bila suatu barisan x = (xn) mempunyai limit x di R, kita akan menggunakannotasi

lim X = x atau lim (x_n) = x.

Kita juga akan menggunakan simbol x_n¾® x, yang menyatakan bahwa nilai xn“mendekati” x bila n menuju 0.

3.1.5.          Ketunggalan limit

Suatu barisan bilangan real hanya dapat mempunyai satulimit.

Bukti :

Andaikan sebaliknya, yaitu x¢ dan x¢¢ keduanya limit dari X =(x_n) dan x’¹x”. Kitapilih e >0 sehingga Ve(x’) dan Ve(x”) saling asing (yaitu, e < ½½x” - x’½).Sekarangmisalkan K’ dan K” bilangan asli sehingga bila n > K’ maka x_nÎVe(x’) dan bila n >K” maka xnÎVe(x”). Tetapi ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa Ve(x’) danVe(x”) saling asing. (Mengapa?). Haruslah x’ = x”.

3.1.6. Teorema

            Misalkan X = (x_n) barisan bilangan real dan misalkan pula xÎR.

Maka pernyataan berikut ekivalen.

(a). X konvergen ke x.

(b). untuk setiap lingkungan-e Ve(x), terdapat bilangan asli K(e)sehingga untuk semuan ³ K(e), suku-suku x_nÎVe(x).

(c). untuk setiap e > 0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk semua n³ K(e),suku-suku xn memenuhi ½x_n - x½<e.

(d). untuk setiap e > 0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk semua n³ K(e),suku-suku xn memenuhix-e < x_n< + e, " n ³ K(e)

Bukti :

Ekivalensi dari (a) dan (b) merupakan definisi. Sedangkan ekivalensi dari (b), (c), dan(d) mengikuti implikasi berikut :

         

Catatan :Definisi limit barisan bilangan real digunakan untuk membuktikan bahwa nilai x yangtelah ditetapkan merupakan limit. Hal ini tidak menentukan berapa nilai limit seharusnya. Sehinggadiperlukan latihan untuk sampai kepada dugaan (conjecture) nilai limit dengan perhitungan langsungsuku-suku barisan tersebut. Dalam hal ini komputer akan sangat membantu. Namun demikian karena komputer hanya dapat menghitung sampai sejumlah hingga suku barisan, maka perhitungan demikianbukanlah bukti.

Untuk menunjukkan bahwa suatu barisan X = (xn) tidak konvergen ke x, cukupdengan memilih eo > 0 sehingga berapapun nilai K yang diambil, diperoleh suatunk > K sehingga xnktidak terletak dalam Ve(x), (Perubahan lebih detail pada 3.4).

      

3.1.7. Contoh

(a)      lim (1/n)=0

Misalkan diberikan sebarang e > 0.Maka menurut sifat Archimedes terdapat KÎN sehingga <e Akibatnya untuk semua n ³ K dipenuhi.

Ini membuktikan lim(1/n)=0.

(b)      (lim(1/n²)

Bila diberikan sebarang e > 0, maka terdapat KÎN, sehingga

Karena itu untuk semua(1/n²)<e membuktikan

(c)      Barisan (0,2,0,2,L,(1+ (-1) ),L) n , tidak konvergen ke 0.

Pilih e₀ = 1, sehingga untuk sebarang KÎN, jika n ³ K dan n bilangan ganjil,maka

x_n - 0 = 2 - 0 = 2 > 1.

Ini mengatakan bahwa barisan (1+ (-1) ) ntidak konvergen ke 0 .

            Ekor Barisan

Perlu dimengerti bahwa kekonvergenan (atau kedivergenan) suatu barisan bergantunghanya pada prilaku suku-suku “terakhirnya”. Artinya, bila kitahilangkan msuku pertama suatu barisan yang menghasilkan Xm konvergen jika hanya jika barisanasalnya juga konvergen, dalam hal ini limitnya sama.