3.5
KRITERIA CAUCHY
3.5.1 Definisi
Barisan bilangan real X= (xn), n
N
disebut barisan Cauchy jika untuk setiap
ɛ ≥ 0 ada bilangan asli H(ɛ) sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli n,
m diperoleh│xn-xm│ < ɛ.
Secara
simbolik dapat ditulis:
X= (xn)
Cauchy ⇔
(
) (
H(ɛ)
N
)
[(
n, m
N)
n, m ≥ H(ɛ) ⇒│xn-xm│
< ɛ].
3.5.2
Lemma
Jika
barisan bilangan real X= (xn) , n
N
konvergen maka X adalah barisan Cauchy.
Bukti :
Adib : X=
(xn) , n
N
konvergen⇒ X= (xn) , n
N
konvergen maka X adalah barisan Cauchy.
Ambil
ɛ>0 sembarang
Karena
X=
(xn) , n
N
konvergen maka lim (xn) ada.
Misalkan lim
(xn)
= x
(xn)→x ⇒(
) (
K(
)
N
)
[(
n, m
N)
n ≥ K(
) ⇒│xn-x│ <
].
Pilih
H(ɛ)
= K(
). Sehingga untuk n, m ≥ H(ɛ) maka
diperoleh
│xn-xm│=
│(xn-x ) + (x-xm)│≤ │xn-x│+ │xm-x│
<
+
= ɛ
...
(
) (
H(ɛ)
N
)
[(
n, m
N)
n, m ≥ H(ɛ) ⇒│xn-xm│
< ɛ].
...
X=(xn)
, n
N
adalah barisan Cauchy.
3.5.3 Lemma
Barisan chaucy adalah
barisan terbatas.
Adib : (
M
R) M>0
│xn│≤
M, (
n
N)
Misalkan X=(xn) barisan chaucy
X=(xn)
Chaucy ⇔
(
) (
H(ɛ)
N
)
[(
n, m
N)
n, m ≥ H(ɛ) ⇒│xn-xm│
< ɛ].
Karena
berlaku untuk sebarang ɛ>0 maka untuk ɛ =1 terdapat H=H(1) dan n≥H
sedemikian sehingga berlakulah │xn-xH│≤ 1.
dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
│xn│≤ │xH│+
1, n ≥ H.
pilih M = sup {│x1│, │x2│,…, │x H-1│, │xH│+ 1}
pilih M = sup {│x1│, │x2│,…, │x H-1│, │xH│+ 1}
Berarti (
M > 0 )
│xn│≤
M,
n
N.
... X=(xn)
terbatas
3.5.4 Lemma
Jika
X=(xn)
barisan chaucy maka X=(xn)
barisan konvergen.
Bukti ;
X=(xn)
barisan chaucy maka berdasarkan lemma 3.5.3 bahwa barisan tersebut adalah
terbatas. Sementara menurut teorema 3.4.3 (Bolzano Weierstrass) barisan yang
terbatas pasti memiliki paling sedikit satu sub barisan yang konvergen.
Misalkan sub barisan X=(xn) adalah X’=(xnk)
yang konvergen ke x*
Adit : bahwa X
konvergen ke x*
Ambil ɛ>0 sembarang
X=(xn)
chaucy ⇔
(
) (
H(ɛ)
N
)
[(
n, m
N)
n, m ≥ H(ɛ) ⇒│xn-xm│
< ɛ].
Juga berlaku
(
) (
H(
)
N
)
[(
n, m
N)
n, m ≥ H(
) ⇒│xn-xm│ <
]………..(*)
Karena X’=(xnk)
konvergen ke x* maka terdapat
bilangan asli K≥ H(
)
│xn-x*│<
,
n,
m ≥ H(
) .
karena K≥ H( ) maka dapat dipilih m=K sehingga persamaan (*) dapat ditulis
( ) ( H( ) N ) [( n, m N) n, m ≥ H( ) ⇒│xn-xm│ < ]
karena K≥ H( ) maka dapat dipilih m=K sehingga persamaan (*) dapat ditulis
( ) ( H( ) N ) [( n, m N) n, m ≥ H( ) ⇒│xn-xm│ < ]
Selanjutnya
jika n≥
H(
) maka diperoleh
│xn-x*│=
│(xn-xk) + (xk-x*)│
≤ │xn-xk│+ │xk-x*│
< + = ԑ
≤ │xn-xk│+ │xk-x*│
< + = ԑ
... (
) (
H(
)
N
)
[(
n, m
N)
n, m ≥ H(
) ⇒│xn-x*│ <
]
... lim (xn) = x*
... X=(xn) konvergen.
... lim (xn) = x*
... X=(xn) konvergen.
3.5.5.
Beberapa Contoh
(a) Barisan
konvergen.
Tentu saja kita
telah membuktikan bahwa barisan ini konvergen ke 0 pada
3.1.7(a). Tetapi
untuk menunjukkan secara langsung bahwa barisan ini Cauchy, kita
catat bahwa bila
diberikan sebarang e >
0. maka terdapat H = H(e)ÎN, sehingga H >
(
) (Mengapa?).
Dari sini, bila m,n ³ H,
maka
Karena e > 0 sebarang, maka
barisan
Cauchy; berdasar kriteria Konvergensi
(b). Misalkan X
= (xn)
didefinisikan dengan
X1 =
1, X2 = 2 dan xn=
(xn-2+
xn-1) = untuk n > 2.
Dapat
ditunjukkan dengan induksi bahwa 1 £ xn
£ 2 untuk semua nÎN. Beberapa
perhitungan
menunjukkan bahwa barisan x tidak menoton. Tetapi, karena sukusukunya
diperoleh dari
rata-rata, mudah dilihat bahwa
untuk
nÎN
(Buktikan dengan
induksi) Jadi, bila m > n, kita dapat menggunakan ketaksamaan
segitiga untuk
memperoleh
Karena itu, bila
diberikan e > 0, dengan memilih
n yang begitu besar sehingga
dan bila M ³ n, maka
< e . Karenanya, X barisan
Cauchy. Dengan
menggunakan
Kriteria Cauchy 3.5.4 diperoleh barisan X konvergen ke suatu bilangan
x.
Untuk mencari
nilai x, kita harus menggunakan aturan untuk definisi
yang akan sampai pada kesimpulan
, yang memang benar,
tetapi tidak informatif. Karena itu, kita harus mencoba cara yang lain.
Karena X
konvergen ke x, demikian juga halnya subbarisan X’ dengan
indeks
ganjil.
Menggunakan induksi pembaca dapat menunjukkan bahwa [lihat 1.3.3 (c)]
Dari sini
diperoleh bahwa (bagaimana ?) x = lim X = lim X’ =
1+
(c) Misalkan Y = (
) barisan dengan
Jelaslah, Y
bukan barisan monoton. Tetapi, bila m > n, maka
Karena 2r-1
£ r! [lihat 1.3.3 (d)], karenanya
bila m > n, maka (mengapa ?)
Karena itu, (yn)
barisan Cauchy, sehingga konvergen, katakan ke y, saat ini kita tidak
dapat menentukan
nilai y secara langsung; kita mempunyai
dari sini, kita
dapat menghitung nilai y sampai derajat akurasi yang diinginkan dengan
menghitung yn
untuk
n yang cukup besar. Pembaca sebaiknya mengerjakan hal ini dan
menunjukkan
bahwa y sama dengan 0.632 120 559. (Tepatnya y adalah 1-
(d) Barisan
divergen.
Misalkan H = (
) barisan yang didefinisikan dengan
Untuk nÎN,
yang telah dibahas pada 3.3.3 (b). Bila m > n, maka
Karena masing-masing
suku m-n ini melebihi
Khususnya, bila
m = 2n kita mempunyai
.Hal ini menunjukkan
bahwa H
bukan barisan Cauchy
(mengapa ?); karenanya H bukan barisan konvergen.
3.5.6.
Definisi. Barisan X = (
) dikatakan kontraktif bila
terdapat konstanta C, 0 <
C < 1,
sehingga
untuk semua nÎN. Bilangan C disebut
konstanta
barisan
kontraktif tersebut.
3.5.7.
Teorema. Setiap barisan kontraktif merupakan
barisan Cauchy, karenanya konvergen.
Bukti :
Bila kita
menggunakan kondisi barisan kontraktif, kita dapat membalik langkah
kerja kita untuk
memperoleh:
Aljabar
Himpunan
untuk m > n, kita
mempunyai
=
Karena 0 < C
< 1, maka lim(Cn) = 0 [lihat
3.1.11(c)]. Karena itu (xn)
barisan Cauchy,
sehingga (xn)
konvergen.
Dalam
proses menghitung limit dari barisan kontraktif, sering sangat penting
untuk
mengestimasi kesalahan pada tahap ke-n. Berikut ini kita memberikan dua
estimasi;
pertama
melibatkan dua suku kata pertama dan n; yang kedua melibatkan
selisih xn-xn-1.
3.5.8.
Akibat. Bila x = (xn)
bariasan konstraktif dengan konstanta C, 0 < C < 1, dan x*
= lim X, maka :
(i).
(ii).
Bukti :
Kita telah
melihat pada bukti terdahulu bahwa bila m>n, maka
Bila kita
menggunakan limit pada ketaksamaan ini (terhadap m), kita
peroleh (i).
Untuk
membuktikan (ii), kita gunakan lagi m > n, maka
Dengan
induksi diperoleh
Karenanya
Bila kita
menggunakan limit pada ketaksamaan ini (terhadap m) diperoleh (ii).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar