TEOREMA-TEOREMA LIMIT BARISAN
3.2.1 Definisi
Barisan bilangan real X = ( xn
) dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real M > 0
sedemikian sehingga | xn | ≤ M, untuk semua n ϵ
N. Barisan X terbatas jika dan hanya jika {xn | n ϵ
N} terbatas di Ɽ.
Contoh :
a). X = (
|
n ϵ N) dan Y = ((-1)n | n ϵ N).
Masing-masing adalah barisan terbatas.
b). Z = ( n | n ϵ N) adalah barisan tak terbatas.
3.2.2 Teorema
Barisan bilangan real yang konvergen adalah terbatas
Bukti :
Diberikan ε > 0 sebarang
Barisan X = ( xn ) konvergen ke x, berarti ( berdasarkan
teorema 3.1.6 (d))
(
ε
> 0) (
K(ε) ϵ N ) ϶
[(
nϵ N) n ≥ K (ε)
| xn – x | ˂ ε
].
Untuk n ≥ K(ε) diperoleh :
| xn – x | ˂ ε
| xn – x | + | x | ˂ ε + | x |
| xn – x + x | ≤ |
xn – x | + | x | ˂ ε + | x |
| xn – x + x | ˂ ε + | x |
| xn – x | ˂ ε + | x |
| xn | ˂ ε + | x |
Misalkan M1 =
| x | + ε
M = sup {| x1
|, | x2 |, ... ,| xk-1 |, M1}
Berarti (
M > 0) ϶ | xn | ≤
M, untuk semua n ϵ N.
X
terbatas.
3.2.3 Teorema
v Misalkan X = ( xn ) dan Y = ( yn ) masing-masing bilangan
real yang konvergen ke x dan y, dan c ϵ Ɽ, maka
barisan-barisan.
(i)
X + Y konvergen ke x + y,
(ii). X - Y konvergen ke x - y,
(iii). XY konvergen ke xy,
(iv). cX konvergen ke cx.
v Jika X = ( xn ) konvergen ke x dan Z = ( zn )
barisan bilangan real tak nol yang konvergen ke z dan z ≠ 0 maka
barisan
konvergen ke
Bukti a (i) :
Ambil ε >0 sebarang.
Barisan X = ( xn ) konvergen ke x, berdasarkan teorema 3.1.6 (d),
(
ε
> 0) (
K1(
)ϵ N ) ϶ [(
nϵ N) n ≥ K1(
)
| xn – x | ˂
].
Barisan Y = ( yn ) konvergen ke y, berdasarkan teorema 3.1.6
(d),
(
ε
> 0) (
K2 (
)ϵ N ) (
nϵ N) n ≥ K2 (
)
| yn – x | ˂
.
Pilih K = sup {K1, K2} sehingga (
K(ε) ϵ N ) ϶
nϵ N, n ≥ K berlaku
| xn – x | ˂
dan | yn – x | ˂
.
| (xn + yn) – (x + y) | = | (xn - x) +
(yn - y) |
≤ | (xn
- x) | + | (yn - x) | ˂
+
= ε.
(
ε
> 0) (
K(ε) ϵ N ) ϶
[(
nϵ N) n ≥ K (ε)
| (xn + yn) – (x + y) | ˂ ε
].
lim
(xn + yn) = x + y. Dengan kata lain,
X + Y konvergen ke (x + y).
Bukti a (ii) :
Barisan X = ( xn ) konvergen ke x, berdasarkan teorema 3.1.6 (d),
(
ε
> 0) (
K1(
)ϵ N ) ϶ [(
nϵ N) n ≥ K1(
)
| xn – x | ˂
].
Barisan Y = ( yn ) konvergen ke y, berdasarkan teorema 3.1.6
(d),
(
ε
> 0) (
K2 (
)ϵ N ) (
nϵ N) n ≥ K2 (
)
| yn – x | ˂
.
Pilih K = sup {K1, K2} sehingga (
K(ε) ϵ N ) ϶
nϵ N, n ≥ K berlaku
| xn – x | ˂
dan | yn – x | ˂
.
| (xn - yn) – (x - y) | = | (xn - x) +
(yn - y) |
≤ | (xn
- x) | + | (yn - x) | ˂
+
= ε.
(
ε
> 0) (
K(ε) ϵ N ) ϶
[(
nϵ N) n ≥ K (ε)
| (xn - yn) – (x - y) | ˂ ε
].
lim
(xn - yn) = x - y. Dengan kata lain,
X - Y konvergen ke (x - y).
Bukti a (iii) :
Ambil ε > sebarang.
Barisan X konvergen, berdasarkan teorema 3.2.2, maka X terbatas.
X terbatas
(
M1 > 0) ϶ |
xn | ˂ M1,
nϵ N. Perhatikan bahwa :
| xn . yn - x . y | = | (xn . yn
- xn . y) + (xn . y - x . y) |
≤ | (xn . yn
- xn . y) | + | (xn . y - x . y) |
≤ | xn | .
| (yn - y) | + | y | | (xn - x) |
˂ M1 |
(yn - y) | + | y | | (xn - x) |
Pilih M = sup {M1, | y |},
Sehingga diperoleh | xn . yn - x . y | ˂ M1 ( |
(yn - y) | + | y | | (xn - x) | ).
Karena ε>0
sebarang dan M>0 maka
Barisan X = ( xn )
konvergen ke x, dan
, berdasarkan T.3.1.6.(d),
Barisan Y= ( yn ) konvergen ke y, dan
berdasarkan
teorema 3.1.6(d),
϶
Pilih K = sup {K1,
K2} sehingga
϶
n ≥ K berlaku
dan
.
dengan
kata lain, X.Y konvergen ke x.y.
Bukti a (iv):
Misalkan X =( xn )
konvergen ke x
Misalkan Y = ( yn
) = (c, c, c,...) adalah suatu barisan konstan yang konvergen ke c. Kerena X
konvergen ke x dan Y konvergen ke c, maka berdasarkan (iii) diperoleh XY
konvergen ke cx. Dengan kata lain, lim (cxn) = cx atau c X konvergen
ke cx.
Bukti (b)
Misalkan X konvergen ke
x dan Z konvergen ke z, z≠0.
Adib :
konvergen ke
Ambil ε>0 sebarang
Barisan Z konver
gen
ke z (z≠0), berarti T.3.1.6.(d)
Ambil
Sehingga
berlaku
.
Berdasarkan ketaksamaan
segitiga jika
berlaku
Akibatnya, untuk setiap
juga berlaku :
Ambil ε > 0 sebarang
Barisan Z konvergen ke
z, z≠0, dan
menurut
T.3.1.6.(d) berarti
Pilih K= sup {K1,K2}
sehingga diperoleh
atau barisan
konvergen ke
Karena X konvergen ke x
dan
konvergen ke
maka
berdasarkan
(iii) dapat disimpulkan
konvergen ke
.
Jadi jika X konvergen ke
x dan Z konvergen ke z ( z ≠ 0 ) maka
konvergen ke
Beberapa contoh
1.
Misalkan
barisan
konvergen ke 0,
dan
Barisan
konvergen ke 1.
(i)
Barisan
X+Y=
konvergen ke 1.
(ii)
Barisan
X-Y=
konvergen ke-1.
(iii)
Barisan
XY=
konvergen ke 0.
(iv)
Barisan
=
konvergen ke 0.
2.
Misalkan
tidak konvergen
dan
Y=
tidak konvergen.
(i)
Barisan
X+Y=
konvergen ke 0.
(ii)
Barisan
X-Y=
tidak konvergen.
(iii)
Barisan
XY=
tidak konvergen.
3.2.4 Teorema
Jika X = ( xn ) barisan bilangan real yang
konvergen ke x dan xn ≥ 0,
maka lim (xn) = x ≥ 0.
Secara simbolik dapat ditulis
(xn) barisan bilangan real, x ϵ R.
xn
Bukti :
Andaikan x < 0
X<0
-x>0.
X konvergen ke x
Pilih
Sehingga
2x < xn < 0
Dengan
demikian xn<0 untuk n ≥ K(ε0). Hal ini kontradiksi dengan xn ≥ 0,
N. Jadi pengandaian salah. Haruslah x ≥ 0.
3.2.5 Teorema
Jika
X =(xn) dan Y =(yn) barisan-barisan bilangan real yang
konvergen dan xn ≤ yn
yn
N, maka lim (xn) ≤ lim (yn).
Bukti :
Misalkan Z = (zn) = Y – X .
Karena xn ≤ yn,
N maka zn ≥ 0,
N.
Menurut teorema 3.2.4 dan teorema 3.2.3 diperoleh
0 ≤ lim (zn) = lim (yn - xn)
= lim (yn) – lim (xn)
lim (xn) ≤ (yn).
Jadi
jika X dan Y barisan bilangan real yang konvergen dan xn ≤ yn,
N maka lim (xn) ≤ lim (yn).
3.2.6 Teorema
Jika X = ( xn ) barisan bilangan real yang
konvergen dan a ≤ xn ≤ yn
N, maka
a ≤ lim (xn) ≤ b.
Bukti :
Misalkan X=(xn) konvergen ke x.
Misalkan A = (a, a, a, ...) dan B = (b, b, b, ...)
sedemikian sehingga a ≤ xn ≤ b,
N. Barisan A konvergen ke a dan barisan B konvergen ke
b. Karena A, B, dan X barisan-barisan yang konvergen dan a ≤ xn ≤ b,
N maka berdasarkan teorema 3.2.5 diperoleh a = lim A ≤
lim (xn) dan lim (xn) ≤ lim B = b. Dengan kata lain, a ≤ lim (xn) ≤ b.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar